케플러의 행성 법칙

요하네스 케플러는 20대에 《우주의 신비》를 쓸 때부터 스승인 티코 브라헤와 달리 태양중심설을 신봉했다.

케플러가 수년에 걸쳐 브라헤의 관측 데이터를 분석해서 얻은 결과는 케플러의 행성법칙으로 알려져 있다.

케플러의 행성법칙에는 세 가지가 있다.

 

첫째, 제1법칙은 타원궤도의 법칙이다.

 

태양 주위를 도는 행성의 궤도가 원이 아니라 타원이라는 말이다.  

케플러의 제1법칙에서는 행성이 태양 주변을 타원궤도로 공전하고, 태양은 그 타원의 두 초점 중 하나의 초점에 자리 잡고 있다.  엄밀하게는 태양과 행성의 질량중심을 중심으로 해서 태양과 행성이 모두 회전하고 있지만, 행성에 비해 태양의 질량이 워낙 크기 때문에 태양의 움직임은 무시할 수 있다. 원궤도와 타원궤도의 가장 큰 차이는 이렇다. 행성이 태양 주변을 원궤도로 돌고 태양이 그 원의 중심에 있다면 행성과 태양의 거리는 언제나 똑같다. 반면 행성이 타원궤도를 돌면 행성과 태양의 거리는 계속 달라진다. 물론 원궤도에서도 태양이 원의 중심에서 벗어나 있으면 행성과 태양의 거리는 계속 달라진다. 타원궤도에서 행성이 태양에 가장 가까워지는 지점을 근일점, 가장 먼 지점을 원일점이라고 한다. 근일점과 원일점을 잇는 축을 타원의 장축이라 하고 그 절반에 해당하는 값을 장반경(semi major axis)이라고 한다. 장축의 중점은 타원의 중심이다. 타원의 중심을 지나고 장축에 수직인 축을 단축이라 한다. 보통 행성의 공전궤도 크기를 말할 때 장반경을 주로 쓴다.  태양 주위를 도는 행성만 타원궤도인 것은 아니다. 지구 주위를 도는 달과 인공위성도 모두 타원궤도를 돈다. 태양과 행성, 행성과 위성 사이에 보편적으로 타원궤도가 나오는 이유는 훗날 뉴턴이 발견한 만유인력의 법칙으로 설명할 수 있다. 달도 지구 주위를 타원궤도로 돌기 때문에 지구에 가까워지기도 하고 멀어지기도 한다. 달이 지구에 가장 가까워질 때의 달, 특히 보름달일 때를 ‘슈퍼문’이라고 부른다. 슈퍼문은 보통 때의 보름달보다 약 7% 더 크고 15% 더 밝다.

 

케플러 제 1법칙. 타원궤도를 따라 움직이는 행성들. 태양에서 멀어지면 속도가 느려지고 태양에 가까워지면 속도가 빨라진다. 수학동아 DB

케플러의 제2법칙은 면적속도 일정의 법칙이라 부른다.

 

행성이 타원궤도를 따라 공전할 때 태양과 행성을 잇는 직선이 단위시간당 훑고 지나가는 부채꼴 모양의 도형의 넓이는 항상 일정하다. 단위시간당 넓이가 변하는 정도를 ‘면적속도’라 정의할 수 있으니까 제2법칙은 ‘면적속도 일정의 법칙’이라고 부른다. 행성이 공전할 때 면적속도가 일정하려면 어떤 상황이 전개돼야 하는지 정성적으로 생각해 보자. 행성이 근일점을 지날 때 태양과의 거리가 가장 가까우므로 이때는 태양을 중심으로 한 행성의 회전반경이 가장 짧다. 행성이 근일점을 통과하면서부터는 태양을 중심으로 한 회전반경이 계속 커지다가 원일점에서 회전반경이 최대가 되고, 원일점을 지나면서 다시 회전반경이 줄어든다. 똑같은 각도의 부채꼴이라면 회전반경이 클수록 넓이가 커지므로 같은 시간 동안 같은 넓이의 부채꼴을 만들면서 공전하려면 회전반경이 클수록 부채꼴의 각도가 작아야 한다. 즉, 태양에서 멀어질수록 천천히 공전해야 한다. 반대로 태양에 가까워질수록 빨리 공전해야 한다. 

 

케플러의 제2법칙. 한 행성과 태양을 잇는 직선이 같은 시간에 휩쓰는 면적은 항상 같다. 수학동아DB

마지막 제3법칙은 '조화의 법칙'이다.

 

《신천문학》이 나온 지 9년이 지난 1618년 《우주의 조화》라는 책에서 제시되었다. 제3법칙은 일명 ‘조화의 법칙’으로도 불리는데, 행성의 공전주기와 장반경 사이의 관계에 관한 법칙이다. 케플러는 태양에서 멀리 있는 행성일수록 공전주기가 길어진다는 점을 간파하고 이들 사이에 모종의 규칙이 있으리라 예상했다. 그 결과를 얻기까지 앞선 법칙들을 발견할 때와 마찬가지로 일일이 손으로 계산해야만 했다. 그렇게 여러 시도를 해 본 결과 케플러는 행성의 공전주기의 제곱이 궤도 장반경의 세제곱에 비례한다는 놀라운 사실을 알아냈다. 이것이 제3법칙이다. 달리 말하자면 행성의 주기를 제곱한 값을 장반경의 세제곱으로 나누면 그 비율이 항상 일정하다는 것이다. 제3법칙을 활용하면 행성의 공전주기만으로도 궤도장반경을 알 수 있다. 

 

케플러 제3법칙. 타원궤도의 공전주기의 제곱은 긴반지름의 세제곱에 비례한다. zum 학습백과

케플러의 법칙은 경험법칙이라 왜 이런 결과가 나왔는지를 알지는 못했다. 거꾸로 케플러의 법칙 덕분에 행성운동을 지배하는 근본법칙을 후대에 알게 되었다. 뉴턴의 만유인력의 법칙이다.

 

  

출처; 동아 사이언스

http://dongascience.donga.com/news/view/32105