도체에 전기장이 인가되면 전자들은 가속됩니다. 결정에 결함과 진동이 없다면 전자들은 전기장이 없어질 때까지 가속이 되겠죠. 그러나 실제 상황에서는 원자들이 제 자리에서 벗어나 있기도 하고, 상하좌우로 진동도 하죠. 그리고 외부로부터 크고 작은 불순물들이 들어와 여기저기에 놓입니다. 그로 인하여 전자들은 충돌하고, 산란을 하죠. 이런 일들은 계속, 반복적으로 일어나며, 전자들은 가속, 충돌, 그리고 멈춤, 또 다시 가속, 충돌과 멈춤 과정을 되풀이 합니다. 그래도 전체적인 이동 방향은 전기장을 따르면서 움직이고 있죠.
먼저, 오옴의 법칙부터 볼까요. 거시적인 측면에서는 '전압은 전류 I와 저항 R의 곱에 비례한다.'입니다. 길이 L을 갖는 도선이라면 전기장은 양단의 전압 V를 도선의 길이 L로 나눈 값이죠. 여기에 V 대신에 IR을 넣고, 전류 밀도 J는 '전류 I를 도선의 단면적 A로 나눈 값', 저항 R은 '저항률을 비례 상수로 하여 도선의 길이 L에 비례하고, 단면적 A에 반비례함'을 대입하면, 결국 전기장은 전류 밀도에 비례하며 비례 상수는 저항률로 얻어집니다. 그리고, 전류는 단위 시간당 도선을 지나간 전하량으로 정의되는데, 분모에 단면적 A를 넣으면 전류 밀도가 되죠. 이상은 오옴의 법칙으로 얻어지는 전압과 전류, 저항의 3각 관계?에 전류가 흐르는 도선의 모양과 고유의 저항률값을 함께 고려하여 유도되는 식들입니다.
다음으로 전류 밀도와 전자의 표동 속도(drift velocity), 즉 전기장으로 인하여 전자가 움직이는 속도의 평균값 관계를 따라가 보죠. 평균 속도는 '전자 각각의 단위 시간당 이동 거리'들의 평균치로 정의되죠. 여기에 전류 밀도의 식에서 단위 시간당 도선을 지나간 전하량, 즉 '도선의 단위 부피 안에 있는 전하의 개수에 대한 전하량'은 분자, 단위 시간을 분모에 대입하고, 전하가 움직인 단위 거리를 평균 속도와 단위 시간으로 표현하면, 결과적으로 전류 밀도는 단위 전하량, 전자의 농도, 그리고 평균 표동 속도의 곱으로 얻어집니다.
그러면 이제, 도체 내에서의 전류 흐름과 직결되는 중요 인자들을 하나, 둘 끄집어내죠. 이제 전자를 질량을 가진 입자로 보는 관점에서부터 시작합니다. 먼저, 뉴턴의 제2법칙, 가속도의 법칙, F = ma와 쿨롱에 의한 전기력 F = qE를 가져옵니다. 전자를 대상으로 하여 전자의 질량을 m, 전자의 전하량을 q로 하고 두 힘을 전기장 안에서 전자가 받는 힘이라는 관점에서 동일시하면, 전자가 받는 가속도 a는 전자의 전하량 q와 인가된 전기장 E의 곱을 전자의 질량 m으로 나눈 값으로 얻어지죠. 그리고, 하나의 전자가 충돌한 후의 속도는 0, 전기장에 의해 가속되어 다음 충돌이 일어나기 직전의 속도를 최대 속도 v로 표현하면, N개의 전자들의 최대 평균 속도는 각각의 전자들의 최대 속도를 더하고 이를 전자의 수 N으로 얻어집니다. 그리고 이 평균 속도는 당연히 가속도에 시간 간격, 즉 한 번 충돌 후 다음 충돌까지 걸리는 시간을 곱한 값이죠. 여기에서 가속도를 앞서 유도한 전자의 전하량과 질량, 그리고 인가 전기장 관련 식으로 치환하면 결과적으로 전자의 최대 표동 속도의 평균값은 전기장에 비례하고, 비례 계수는 단위 전하량과 충돌 시간 간격을 곱을 질량으로 나눈 값으로 얻어지죠. 여기에서 '최대'라는 용어를 제거한 평균 속도는 절반의 숫자 2를 분모에 넣으면 되고, 이렇게 유도된 비례 계수, 즉 분자는 전하량과 충돌 시간 간격, 분모는 전자의 질량에 2를 곱한 값을 이동도로 정의합니다. 즉, 전자의 표동 속도와 인가 전기장의 비례 관계에서의 비례 계수인 셈이죠.
이제, 도체에 있어서 오옴의 법칙의 미시적인 표현, '전류 밀도는 전기장에 비례하고, 그 비례 계수는 전도도이다.'로 이야기를 이어가보죠. 앞서 전류 밀도는 단위 전하량, 전자의 농도, 그리고 평균 표동 속도의 곱으로 얻어졌습니다. 평균 표동 속도를 전자 이동도와 전기장의 곱으로 대체하고, 전기장을 제외한 나머지 인자들, 즉 단위 전하량과 전자 농도, 그리고 이동도를 묶으면 이 값이 바로 전기 전도도입니다. 여기에서 이동도를 전하량과 충돌 시간 간격, 그리고 전자의 질량으로 풀어 놓으면 전도도를 결정하는 여러 인자들이 잘 보입니다. 즉, 전기 전도도는 자유 전자의 수가 많고 충돌 간격이 길수록 증가합니다. 이러한 전기 전도도의 역수가 바로 저항률, 혹은 비저항이죠.
다음으로 저항률을 실제로 결정하는 전자의 충돌과 산란(scattering)에 관하여 살펴봅니다. 충돌이 일어나는 원인으로는 두 가지가 있습니다. 하나는 원자 자체의 진동입니다. 원자들은 온도가 증가할수록 더 크게 진동을 하죠. 또 다른 하나는 내부의 결함이나 혹은 외부로부터 유입된 불순물과의 충돌입니다. 흥미로운 점은 전체 저항률은 두 가지 요인 각각의 저항률을 더한 값으로 얻어진다는 것이죠. 이는 단위 시간당 충돌 횟수의 합은 각각의 원인들로 인한 충돌 횟수의 합, 이를 고려한 각각의 이동도, 이로부터 얻어지는 각각의 저항률과 이를 더한 전체 저항률로 유도될 수 있습니다. 즉, 도체 내에서 전자의 충돌이 일어나는 원인들을 줄여갈수록 저항률은 감소하고 전도도는 증가합니다.
저항률은 열에 의한 원자의 진동, 혹은 결함이나 불순물, 두 요인으로 인한 충돌과 산란이 원인이 되니, 결국 결함이나 불순물이 없는 완전하고 순수한 금속이라면 온도로 결정이 됩니다. 따라서 저항률은 온도에 의존하는 물질 고유의 값이죠. 금속에서 낮은 저항률, 즉 높은 전도도를 갖는 물질은 은(Ag), 구리(Cu), 금(Au), 그리고 알루미늄(Al), 네 가지가 대표적입니다. 전기 전자 분야에서 도체, 도선, 전극으로는 주로 이들 네 종류의 물질을 사용하죠. 물론 여기에는 전도도에 더하여 가격도 중요시됩니다. 가격을 결정하는 요소들로는 먼저 광석(ore)과 추출 및 정제 비용이 중요하고, 여기에 가공과성형의 난이도도 함께 산정이 되죠.
일반적으로 은과 금은 가격이 높고, 구리는 적당하며, 알루미늄은 비교적 저렴합니다. 은과 금은 귀금속(noble metal)으로 다른 원소들과 반응을 하지 않아 추출은 매우 쉽죠. 알루미늄은 광석은 매우 저렴하나, 산소와 강하게 결합되어 있어 추출이 나름 만만치 않습니다. 그리고 매우 가볍죠. 구리의 경우, 광석 가격도 적당하며, 부식(corrosion)에 대한 저항력도 무난하고, 성형이나 가공도 나름 용이하며 가장 많이 사용되고 있는 금속 도체입니다.
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알루미늄 이야기
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